Tweets au sommet

Pau, quartier des Halles. 12/11/2019

Parmi les situations passionnantes présentées par Guy Vallet pour illustrer le travail d’expérimentation pédagogique en L1 à l’UPPA dans le cadre de liaison Bac-1/Bac+1, l’une d’entre elles retient l’attention. Modéliser l’évolution (fictive) du nombre de tweets de deux Présidents bien connus…

Au-delà de l’ironie amusée des auteurs du problème, il s’agit d’étudier un couple de suites imbriquées, à partir de quelques hypothèses que l’on se donne et qui disent quelque chose, si ce n’est de la réalité, au moins du réseau social Twitter et des chefs d’États en question!

Mathématiquement, dans l’enseignement supérieur, des réflexes liés à l’algèbre linéaire (changement de bases) émergent pour traiter le problème, et faire prendre de la hauteur aux étudiants.

Nous pouvons revisiter cette situation ludique posée en L1, et qui correspond à notre axe de recherche n°3 (modélisation), en classe de Terminale, avec un regard complémentaire que l’on partage ici.

La traduction mathématique des hypothèses simplificatrices proposées pour calculer les nombres de tweets d’un jour sur l’autre est un moment important que l’on peut proposer aux élèves. Quelles variables introduire?

On tombe sur un couple de suites qui s’appellent l’une l’autre. On reconnaît une suite vectorielle arithmético-géométrique. Il ne s’agit pas ici d’en faire un exercice de l’actuel programme de l’enseignement de spécialité de Terminale S, avec traduction matricielle. En effet, il apparaît que les hypothèses fortes que l’on s’est donné induisent un rôle symétrique joué par les deux suites. Elles sont égales.

L’outil bien adapté pour conjecturer leur comportement semble ici être le tableur. L’égalité saute immédiatement aux yeux. Une des vertus du problème est qu’il repose sur deux paramètres constants au cours de l’évolution: le taux de réponses (identique pour les deux Présidents), et un nombre de tweets émis en réaction à l’actualité internationale, constant au cours du temps.

Il n’est pas difficile d’explorer les différentes évolutions possibles en modifiant les deux paramètres: égalité, constance, divergence rapide, stabilisation, progression arithmétique, progression géométrique. C’est une phase riche que celle de la simulation.

Les élèves peuvent émettre des conjectures. Mieux : elles peuvent même induire les raisonnements à engager pour les prouver. Une récurrence, quasi immédiate, pour l’égalité des deux suites; des preuves aisées dans des cas particuliers limites de progressions arithmétique et géométrique. Pour l’étude de la suite arithmético-géométrique, c’est plus difficile car le point fixe dépend des deux paramètres. Une aide est ici bien entendu nécessaire.

C’est un beau problème, qui peut tout à fait se revisiter au Lycée.

Merci aux enseignants de l’UPPA pour le partage, et cette liaison fructueuse qui essaime.

Notes:

  • Problème original des tweets en L1 [1]
  • TP (élèves) Tweets au sommet au Lycée. Modélisation et simulation. Partie 1 [2]
  • TP (élèves) Tweets au sommet au Lycée. Preuves. Partie 2 [3]
  • Fichier Tableur TP Tweets au sommet [4]
  • Le problème des tweets (commentaires enseignants) [5]
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