Somme de carrés en abyme

Lycée Louis Barthou, le 21.02.20

Une dizaine d’élèves de Premières suivant l’enseignement de Spécialité se sont inscrits aux Olympiades de Mathématiques qui se dérouleront le 11 Mars 2020, pendant la semaine des Mathématiques.

Pour appréhender l’esprit de l’épreuve, une séance de préparation et de recherche a été proposée aux candidats le mercredi 19 Février après-midi.

Nous avons décidé de travailler un joli problème tombé en 2017, intitulé « Somme de carrés en abyme ». De quoi s’agit-il?

On considère la fonction f définie sur l’ensemble des entiers naturels non nuls, qui à tout
entier  non nul associe la somme des carrés des chiffres de son écriture décimale.

On se donne un entier au départ, puis on itère la fonction. On construit ainsi une suite définie par récurrence. Comment se comporte-t-elle?

La première partie de l’exercice permet d’établir quelques propriétés élémentaires de la fonction f.

f(1)=1²=1, f(11)=1²+1²=2, f(111)=1²+1²+1²=3, f(1111)=1²+1²+1²+1²=4.

L’image d’un rep-unit (nombre constitué d’une série de n chiffres 1) est n. Donc tout entier naturel admet un antécédent.

f(10)=1²+0²=1, f(100)=1²+0²+0²=1, f(1000)=1²+0²+0²+0²=1. Il est facile de généraliser. il est demandé de prouver que tout entier admet une infinité d’antécédents par f.

A partir d’exemples, la seconde partie fait émerger la conjecture suivante à propos de la suite: soit elle se terminera par une suite infinie de 1, soit on tombe sur le cycle périodique: 4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20, 4, …

On vérifie la conjecture pour les nombres à deux chiffres grâce à un algorithme.

Les deux dernières parties s’occupent de la généralisation. Finalement, la fonction f pour les grands nombres est puissamment réductrice de taille. En effet, un nombre à n chiffres est minorée par 10^(n-1), alors que son image est majorée par 81n. On passe d’un ordre de grandeur géométrique à un ordre de grandeur arithmétique. En un nombre fini d’étapes, la suite étant strictement décroissante pour n>3, on se ramène au cas des nombres à 3 chiffres déjà réglé.

Pour permettre aux élèves de rentrer dans le problème, les marches sont préparées. On peut imaginer dans un autre contexte proposer la simple question ouverte suivante: que dire de la suite lorsqu’on itère la fonction f sur un nombre donné?

Multiplier les exemples, conjecturer soi-même, produire une fonction Python qui automatise les calculs, tenter une démonstration universelle en comprenant la stricte décroissance de la suite pour un terme initial de grande taille.

Les élèves ont en tout cas senti certains ressorts: ce n’est que par l’expérimentation et la saturation d’exemples que les régularités peuvent émerger. La machine peut traiter un nombre fini de cas. Seul l’esprit peut prouver l’universalité sur un ensemble infini. Les arguments décisifs (ici le pouvoir des inégalités) ne surgissent à nouveau que par la bonne compréhension des effets itérés de f sur un panel varié de termes initiaux.

La règle de passage était à portée de tous, ainsi que les premières étapes. Prouver la généralisation, en gardant de la hauteur sur le sens des minorations/majorations à établir n’est pas chose aisée. L’essentiel n’étant pas de finir, mais de produire des raisonnements convaincants. Un bel exemple de l’esprit des Olympiades.

Notes:

  • Site des Olympiades de Mathématiques: [1]
  • Sujet « Somme de carrés en abyme »: [2]
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