Quand on aura fini l’infini

Intervention de Patrick Gibel au LMB, 11/12/2019

Les paradoxes de Zénon frappent encore l’esprit et soulignent à la fois la clairvoyance grecque et les difficultés attachées à la notion d’infini et de limite. D’autant plus lorsqu’on affronte des formes indéterminées contre-intuitives: sommer une infinité de termes strictement positifs devenant infiniment petits.

La série géométrique est un cas d’école. On sait que:

Une élégante et convaincante illustration de la convergence de la série géométrique dans le cas où 0<q<1 consiste à dessiner une frise de carrés itérés par translation et réduction de rapport q, comme le montre l’image ci-dessous (en cliquant sur l’image on accède à la ressource Geogebra en ligne et l’on peut faire varier les curseurs de la raison et du nombre de carrés dessinés).

Ce que l’on voit: la droite (conjecture à prouver) des sommets, par construction (0<q<1), n’est pas parallèle à l’axe des bases, même pour des valeurs proches de 1 (aussi proches que l’on veut). La série géométrique se retrouve horizontalement (somme des côtés des carrés): elle converge vers l’abscisse du point d’intersection entre la droite des sommets et l’axe des bases.

Patrick Gibel, qui a suivi le travail mené par Pierre Bourumeau avec des élèves de Première autour de cette activité (pour q=0,75), est venu nous présenter le fruit de ses recherches didactiques le 11 Décembre 2019, en présence de Mme Péducasse, IA-IPR qui accompagne notre laboratoire.

Dans le cadre de ses terrains d’étude, Patrick Gibel s’attache à examiner la parole des élèves et les formes de raisonnement qu’ils élaborent face à une situation-problème. Il est attentif à leurs modes de production, aux modalités de verbalisation, aux validités provisoires, aux preuves en construction, aux phases d’institutionnalisation et de contrôle. C’est un travail d’écoute d’une grande finesse. En sortent des pépites d’enseignement (on sent la jubilation et la complicité à suivre l’interaction entre les élèves et le professeur) et la restitution de la pensée, en germe, en chemin, enfin à destination. Dans les réponses partielles, les écarts, les inexactitudes, le débat, se jouent des étapes cruciales de pensées en acte. Il faut leur prêter l’oreille car elles se révèlent précieuses: qu’elles soient seulement intuitives, convaincantes, voir de purs oxymores poétiques comme ce désarmant: « quand on aura fini l’infini ».

Le raisonnement, les Mathématiques, sont une histoire d’arguments mis en musique, et d’abord de mots. Inlassable et exigeante patience qui consiste à écouter, comprendre, dialoguer, accepter de tirer un fil tremblant, reprendre, formaliser.

Du côté de la didactique, Patrick Gibel a élaboré un modèle multidimensionnel d’analyse des raisonnements (classifiés selon 3 degrés de consistance) qui s’appuie sur la sémiotique de C. S. Pierce pour en examiner à nouveau les ordres gradués suivants: intuition, proposition, preuve.

Grâce à cette grille de lecture, le travail accompli dans le détail pour cette activité aux multiples ressources (variété des cadres, questionnements autour de l’infini, des preuves, des contrôles, etc…) est remarquable. Malgré la complexité de certains outils didactiques dont nous n’avons pas la maîtrise, la fraîcheur du regard du chercheur, la confiance et la reconnaissance envers l’enseignant qui mène la danse, et la parole vivante des élèves, vibrent dans l’ensemble de l’exposé.

En guise d’ouverture, on peut proposer un autre angle d’attaque possible, toujours à partir de cette activité: faire dessiner la frise des carrés aux élèves grâce au module Turtle de Python. En choisissant, comme paramètres d’une fonction « frise », la longueur du côté du carré initial, le coefficient de réduction, et le nombre de carrés dessinés, un travail fécond  de conjectures peut être demandé en prolongement du travail de programmation proprement dit.

Si le côté du premier carré mesure 100 pixels, la tortue aura-t-elle pu avancer horizontalement de 400 pixels?

Alors que la tortue aveugle bute, la preuve convaincante jaillit de l’esprit humain.

Un grand merci à Patrick Gibel.

Notes:

  • Diaporama complet de l’exposé de Patrick Gibel [1]
  • Élaboration et usages d’un modèle multidimensionnel d’analyse des raisonnements en classe de mathématiques. Patrick Gibel [2]
  • Fonction Python Frise de carrés [3]

 

 

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