Équations cartésiennes et registres croisés

Pau, le 04/04/2019

On cherche tous les couples de réels (x;y) tels que : x=2y…

Un constat récurrent, dans la production des élèves, est que le concept d’égalité et de variables dans ses différentes acceptions, et en particulier dans son usage d’équation cartésienne était mal maîtrisé.

Il est vrai que ce n’est pas facile, car le statut d’égalité et de variables nécessite des précisions contextualisées.

L’égalité: (x+1)²=x²+1 n’ a pas de sens a priori, dans la mesure où, dans l’ignorance d’ informations sur la variable x, on ne peut décider si elle est vraie ou fausse.

L’assertion: « pour tout réel x,  on a: (x+1)²=x²+1 » est fausse (contre-exemple: x=1).

L’assertion: « il existe un réel x tel que: (x+1)²=x²+1 » est vraie (x=0).

L’assertion: « pour tout réel x, on a: (x+1)²=x²+2x+1 » est vraie (preuve universelle à effectuer).

D’autre part au-delà des identités quantifiées vérifiées par des variables, d’autres situations engagent un sens nouveau :

« Résoudre dans l’ensemble des réels l’équation: (x+1)²=x²+1 d’inconnue x » ou « Quel est l’ensemble des couples (x;y) tels que: x²+y²=1? »

Fleurissent dans les copies des phrases comme: « La droite d’équation: 2x+1 » … Il n’est pas choquant de la part des élèves de parler d’équation sans évoquer une égalité.

On sent ici un point d’incompréhension majeur qu’il s’agit de travailler au-delà du rappel formel. Effectivement, les ensembles des points M(x;y) du plan tels que: y=2x+1, ou tels que  ou y²=2x+1 sont de natures profondément différentes.

Nous proposons et rendons compte ici d’une activité d’introduction aux équations cartésiennes dans le cadre de l’enseignement de spécialité en classe de Première.

On souhaite multiplier les approches. L’activité est disponible: ici.

A partir de 9 équations cartésiennes (1er registre) de courbes usuelles dans le plan (droites, paraboles, cercles), l’objectif est de tisser des liaisons.

2nd registre. Registre verbal lié aux coordonnées: ensemble des points du plan dont l’abscisse est le double de l’ordonnée, ensemble des points du plan dont l’ordonnée est le carré de l’abscisse, … Le point ici est de s’approprier la notion d’équation cartésienne comme relation entre les coordonnées d’un point quelconque de la courbe.

3ième registre. Repérer les invariants géométriques liés aux points eux-mêmes. Qu’est-ce qui reste fixe dans la mobilité et la diversité des points? Cette fixité est le signal d’une équation. Lieu des points à égale distance de l’origine, lieu des points équidistants d’une droite et d’un point, …

4ième registre. Graphique. Les courbes sont tracées, et il faut les associer aux équations, ensembles et lieux précédents.

5ième registre. Nominal. Reconnaît-on des familles? Droites, paraboles, cercles…

6ième registre. On explore le lien avec les fonctions. Est-ce que l’association entre x et y définit une fonction? Rien n’est moins sûr. Le traitement de la droite d’équation: x=1 (la notion d’équation cartésienne), de la parabole d’équation: x=y² est à ce titre intéressant.

On aurait pu imaginer un 7ième registre: appréhender les figures par leurs représentations paramétriques, ce qui n’a pas été exploré avec les élèves.

L’activité a ses vertus. Des tests sont possibles, trouver les premières correspondances est aisé, et les liens sont foisonnants entre parties qui peuvent être présentées habituellement de manière étanche. Mais elle est sans doute trop copieuse, et le moment adéquat pour débattre, trancher, apporter une aide, toujours délicat à trouver.

Sans surprise, la caractérisation des lieux de points est la plus difficile, d’autant plus pour des générations d’élèves qui ont moins été confrontés à la géométrie. Ils ont trouvé ardue la définition, nouvelle, de la parabole définie à partir de son foyer et de sa directrice, pourtant vue après la notion de projeté orthogonal dans le sillon du produit scalaire. Retrouver l’équation à partir de cette définition géométrique n’a pas pu être traitée en autonomie, et difficilement en cours dialogué.

C’est alors le moment de faire un retour historique. Les Grecs sont venus avant Descartes, et la géométrie, avant son algébrisation, qui a elle-même ouvert la voie à la théorisation des fonctions. Deux millénaires d’histoire revisités, et l’occasion d’expliquer pourquoi la courbe de la fonction carré mérite le nom de parabole…

On pourrait presque ici retourner la célèbre citation d’Henri Poincaré définissant notre discipline comme art de donner un même nom à des choses différentes. Ici, on parle d’une même chose sous des formulations multiples.

Cette activité a été proposée en introduction du chapitre de géométrie repérée. Un collègue suggérait de la traiter en fin de chapitre. A tester!

Note:

  • Activité d’introduction aux équations cartésiennes en classe de Première: [1]

 

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