Atelier autour des variables aléatoires

Variables aléatoires par Jean Rochet, LMB, 09/06/2021

Nous avons clôturé les réflexions cette année autour du nouveau programme de Spécialité de Terminale avec un atelier d’une grande densité animé par Jean Rochet, professeur en seconde année d’ECS au Lycée Louis Barthou.

Les probabilités offrent un champ délicat. Le nouveau programme apporte des changements. Il faut les comprendre, les digérer. Proposer aux élèves des exemples convaincants, des activités pertinentes. Avoir pour soi un minimum de recul théorique.

Les lois continues sont apparues dans le Secondaire, ainsi que les problématiques d’échantillonnage et d’estimation il y a une dizaine d’années. Au cœur du sujet, la loi normale, le théorème de Moivre-Laplace. Cela répondait à une attente. Une partie importante d’étudiants utilisant l’outil mathématique dans l’enseignement supérieur (en dehors des purs spécialistes) doivent pouvoir tester une hypothèse, considérer un échantillon, reconnaître une distribution normale, utiliser un intervalle 2-sigma, etc.

Cela posait aussi des problèmes. Derrière les réponses automatisées des calculatrices, des intégrales généralisées, des théorèmes de convergence épineux…

Le nouveau programme signe le retour du discret. Les plus âgés d’entre nous avaient déjà enseigné le dénombrement en Terminale S. En revanche, pousser les variables aléatoires, travailler leurs indicateurs, considérer leurs transformations affines, leurs sommes … pour aboutir à la loi des grands nombres est une nouveauté.

Nous listons ci-dessous quelques points qui ont été travaillés :

  • Notion d’indépendance (et covariance)
  • Degré de corrélation
  • Modèle indépendant, non mutuellement indépendant
  • Notion de convergence
  • Loi faible des grands nombres
  • Exemples de convergence en loi
  • Inégalités de concentration

Les questions ont fusé! La foule d’exemples ciselés et les applications particulièrement pertinentes qui ont éclairé l’exposé ont donné du corps au propos. Nous avons compris que des correspondances « géométriques » étaient possibles (la variance de la somme de deux variables indépendantes comme somme de leurs variances (« Pythagore »), l’indépendance vue comme une « orthogonalité », la covariance vue comme un défaut d’indépendance et mesurant un degré de dépendance à l’image du produit scalaire mesurant la proximité des directions de deux vecteurs à l’aide du cosinus). Plus philosophiquement, au fil des discussions, ont été évoqués par Jean les deux camps : les « Bayésiens » et les « Fréquentistes », deux visions complémentaires…

Décidément, nous avons de la chance. Le Lycée héberge de nombreuses compétences, et les personnes qui les possèdent sont prêtes à les partager. Nous sommes profondément reconnaissants envers Jean Rochet, notre collègue, expert du domaine des  probabilités et de leur enseignement, qui a conduit les échanges et proposé des contenus remarquables que vous pouvez consulter en note [1].

Note :

Diaporama de la séance par Jean Rochet [1]

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